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고대 문명에서 발견된 삼각형의 진리

기원전 4,000년경티그리스강과 유프라테스강 사이에 형성된 넓고 비옥한 평야에서 세계 4대 문명 중 하나인 메소포타미아 문명이 탄생한다메소포타미아 지역(현재의 이라크 주변)의 남쪽 지역에는 바빌로니아 왕국이 있었는데바빌로니아인들은 설형문자일명 쐐기문자를 만들어 인류 문명의 씨앗을 싹트게 했다이 지역에서는 질 좋은 점토를 쉽게 구할 수 있었다바빌로니아인들은 이를 이용해 점토판을 만들었고그들이 깨우친 진리를 쐐기 문자로 새겼다여기에는 지리학천문학법학에 이르기까지 무수히 많은 내용이 담겨있다.

▲ 바빌로니아 수학에 관한 내용을 담은 점토판 플림톤 322(Plimpton 322)’ (출처위키백과)

이들 점토판 중에는 알 수 없는 숫자의 배열이 담긴 점토판(Plimpton 322)이 있었는데, 훗날 이 숫자는 삼각형의 세 변과 각도의 비율을 관계식으로 나타낸 삼각법이라는 사실이 밝혀졌다직각삼각형의 빗변은 늘 밑변높이와 일정한 비율을 갖고 유지하고 있는데 삼각법은 이들의 비율을 나타낸 관계식이다연구자들은 이들이 사원궁전 등을 건축하기 위해 삼각법을 이용했을 것으로 추측한다이후 동서양을 막론하고 삼각형 각과 변의 길이를 다룬 학자는 끊임없이 등장했다기원전 200년 전의 천문학자 히파르코스도 삼각함수표를 만들었다는 사실이 알려져 있다.

현재 우리가 알고 있는 삼각함수의 원형은 굽타 시대 인도에서 비롯된 것으로 여긴다실제로 삼각함수 용어 사인(sine)은 인도의 산스크리트어에서 나온 말이다인도에서 연구된 삼각함수는 이슬람을 거쳐 유럽으로 넘어갔다그리고 1748년 스위스에서 태어난 수학자 레온하르트 오일러가 ‘사인’ ‘코사인’ 등 지금의 삼각함수 약어를 만들어 정립했다.

 

원에서 탄생한 삼각함수

직각삼각형은 두 변이 이루고 있는 한 각이 직각(90)인 삼각형이다삼각함수의 삼각비는 이 직각삼각형의 변의 비율로 찾을 수 있다직각을 마주 보고 있는 빗변의 길이에 대한 높이의 길이의 비가 ‘사인(sine)’이다빗변의 길이에 대한 밑변의 길이의 비는 ‘코사인(cosine)’이다밑변의 길이에 대한 높이의 길이 비를 ‘탄젠트(tangent)’라 한다직각삼각형의 크기에 상관없이세 각의 크기가 같으면 사인코사인탄젠트 값은 언제나 같다.

이런 삼각비를 삼각형의 내각 범위를 넘어 모든 각으로 확장시킨 개념이 삼각함수다삼각함수는 원과 밀접한 관련이 있다그래서 원의 그래프를 이용해서 삼각함수 그래프를 그릴 수 있다그래프에 원점이 (0, 0)이고 반지름이 1인 원을 그려보자원의 중점에서 원 위의 한 점을 잇고그 점에서 x축으로 선분을 내려보자그럼 직각삼각형이 만들어진다.

사인함수는 빗변의 길이에 대한 높이의 길이인데빗변의 길이(원의 반지름) 1이다즉 높이의 길이가 곧 사인 값이 되고밑변의 길이가 코사인 값이 된다좌표 평면 위의 한 점 p(1,0)이 반시계 방향으로 원을 한 바퀴 돌았을 때, x축을 기준으로 원의 높이가 어떻게 변할까높이가 0에서 점점 증가하다가 1까지 커지고다시 점점 줄어 0이 된다이후 마이너스 방향으로 다시 1까지 커지다가 원래 자리로 오면 0이 된다원을 한 바퀴 돌 때 높이의 변화를 나타낸 그래프는 아래와 같다.

▲ 삼각함수를 주기를 갖는 그래프로 나타낸 모습 (출처: 위키피디아)

원을 한 바퀴 돌면 이 값은 줄어들었다가 늘어나고늘어났다가 다시 줄어들 게 된다처음 시작점으로 돌아오면다시 같은 값들을 반복한다이처럼 사인함수의 그래프는 1회전할 때마다 특정한 파동 형태로 나타난다.

다시 말해 360도를 돌 때마다 주기가 반복되는 주기함수다삼각함수의 주기는 반지름이 1인 원의 원주의 길이인 2π(파이같은 방법으로 밑변의 길이 변화를 나타내면 우리가 알고 있는 코사인함수의 그래프가 나온다.

 

파동의 모양을 닮은 주기함수

이처럼 삼각함수는 주기성을 갖고 있어주기성을 나타내는 다양한 현상을 설명하는데 쓰인다예를 들어 심전도태양의 흑점 개수 변화 등은 삼각함수를 결합해 설명할 수 있다이 외에 과학과 공학 분야에서 전자기파뇌파 등을 비롯한 파동을 다룰 때도 삼각함수는 매우 중요하게 쓰인다.

그러나 실제 자연 현상에서 관찰한 파동은 위에서 본 사인함수처럼 완벽하고 깔끔한 형태의 파동을 이루지는 않는다앞서 언급한 심전도뇌파 등만 생각해도 우리가 알고 있는 사인함수와는 많이 다른 모습으로 나타난다대부분의 현상은 삼각함수 하나만으로 설명할 수 없기 때문이다대개 삼각함수 여러 개를 더하거나곱한 다소 복잡한 형태로 결합해 표현할 수 있다.

이처럼 삼각함수를 조합해 여러 현상을 수학으로 설명한 사람은 18세기 프랑스의 수학자 조제프 푸리에다당시 푸리에는 열이 시간에 따라 전도되는 과정을 수식으로 나타낸 열 방정식을 풀기 위한 방법을 고안하던 중이었다.

▲주기가 있는 함수를 삼각함수의 급수로 바꿔 나타내는 ‘푸리에 급수‘ (출처위키피디아)

그는 주기성을 띠고 있는 삼각함수를 적절히 변형하면 자연 현상을 수식으로 표현해낼 수 있다는 사실을 발견했고삼각함수를 변형하거나 조합한 푸리에 급수를 만들었다즉 푸리에 급수는 주기가 있는 함수를 삼각함수의 급수로 바꿔 나타내는 방법으로복잡한 함수로 이루어진 식을 삼각함수인 사인함수와 코사인함수의 조합으로 다루기 편하게 표현할 수 있다는 데 의의가 크다실제로 푸리에 급수는 진동수 분석 등 관련 있는 대부분의 분야에서 유용하게 쓰이고 있다.

예를 들어 우리가 말하는 음성도 삼각함수가 포함된 수식으로 표현할 수 있다이는 사람의 목소리를 푸리에 급수를 이용해 나타내면 사람마다 다른 식으로 나타난다는 뜻이다즉 단순히 귀로 구별할 수 없는 소리를 푸리에 급수를 통해 성별은 물론 사람 고유의 목소리를 찾아낼 수 있는 셈이다이 외에도 삼각함수로 이뤄진 푸리에 급수는 각종 신호 처리통신 분야 등에서 쓰인다.

 

공학의 근본 삼각함수!

여기서 끝이 아니다삼각함수는 변의 길이와 각도에 관한 함수다그래서 공간에서의 위치회전 등을 다루는 공학 분야에서도 필수적으로 쓰인다혹자는 로봇 공학을 연구하려면 수학을 공부하라는 말을 했는데실제로 로봇 공학 등 복잡한 기술 밑단에는 삼각함수 등 기본 수학이 쓰이기 때문이다.

예를 들어 로봇 팔을 설계할 때 어떤 분위를 얼마큼 어떻게 움직일 것인가’ 고려할 때도 삼각함수가 필요하다팔의 길이손가락 관절 하나하나의 길이와 회전 각도를 모두 계산해야 하기 때문이다이때 변과 각도의 함수인 삼각함수가 필수적인 것이다.

▲ 삼성전자 갤럭시  버즈 라이브

노이즈 캔슬링도 삼각함수와 같은 파동의 원리를 활용한 예로 들 수 있다삼성전자의 무선 이어폰 ‘갤럭시 버즈 라이브는 액티브 노이즈 캔슬링‘ 기능으로 화제가 됐다노이즈 캔슬링은 소음의 파동을 없애는 방식으로 소음을 차단하는 기술이다.

파동은 ‘간섭 현상을 일으키는 특징이 있는데 두 개의 파동이 합쳐지면 더 강해지거나 약해질 수 있다주기와 위상이 같은 두 파동이 중첩될 때는 파동이 강해지고(보강 간섭)주기는 같으나 위상이 정반대인 두 파동이 만나면 파동이 중첩돼 사라진다(상쇄 간섭)노이즈 캔슬링은 이어폰에 부착된 마이크를 이용해 주변 소음을 담은 뒤 그 소음의 파동을 분석해 정반대 파동을 일으켜 소음을 상쇄시키는 기술이다.

인공지능(AI), 드론로보틱스자율주행차 등 4차 산업혁명 시대를 상징하는 대표적인 기술들은 이미 우리의 현실 속에 조금씩 자리 잡고 있다앞으로는 이쪽 분야의 발전이 더 빨라질 것으로 예측된다이런 기술들은 서로 융합되며 상호작용할 것이고이를 위해 지금보다 훨씬 더 복잡한 기술이 필요하게 될지도 모른다수천 년 전 지구에 살던 바빌로니아인들은 상상도 못했을 과학 기술의 발전이 이뤄지고 있는 것이다한편으로는 이처럼 고도화된 과학 기술 개발의 기저에 그들이 점토판에 새기며 깨우친 삼각함수의 기본 원리가 깔려있다는 사실이 흥미롭다.

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