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쉽게 알아보는 공학이야기 8 – 차원해석

자연 현상이나 공학 문제를 수학식으로 표현한 것을 수식화 또는 공식화(formulation)라고 한다면이를 행하기 전에 수행하는 것을 차원해석(dimensional analysis)이라고 합니다차원해석이란관련 물리 변수들을 도출하고 이들을 구성하는 기본차원을 살펴봄으로써 변수들의 관계를 개략적으로 파악하는 수학적 방법을 말합니다.

 *기본차원이란모든 유도차원을 만들 수 있는 길이(L), 시간(T), 질량(M)  7개의 독립적인 차원을 말한다.

 

수식의 동차성

수식에 나타나는 변수들은 각기 차원(단위)을 가지고 있으며이들의 조합으로 이루어진 항들 역시 특정한 차원을 가지게 됩니다수식에는 등호를 중심으로 좌변과 우변이 있고각 변은 하나 또는 여러 개의 항으로 이루어집니다항이란물리 변수들의 조합으로 이루어진 변수 덩어리로서 덧셈이나 뺄셈 기호로 연결됩니다여기서 중요한 것은 수식을 이루는 각항들은 모두 같은 차원과 같은 단위를 가져야 한다는 점입니다이를 차원의 동차성(dimensional homogeneity)이라 합니다.

수식의 동차성▲ 서로 다른 차원(단위)의 물량은 더하거나 뺄 수 없다.

 예를 들어 면적과 길이질량과 열량그리고 키와 몸무게처럼 차원이 다른 물리량을 서로 더하거나 뺄 수 없습니다영어 표현에 ‘오렌지와 사과라는 말이 있습니다같은 기준으로 비교 평가할 수 없는 것을 동일 선상에 올려놓으려 할 때 쓰는 표현입니다.

 

버킹엄의 파이 정리

차원해석

차원해석을 정리하기 위해서는 ‘Buckingham Pi 정리를 알아 둘 필요가 있습니다버킹엄의 파이 정리는 물리 현상을 지배하는 관련 변수가 모두 k개이고 이들을 이루는 기본차원이 r개라면무차원 변수는 k-r개 유도될 수 있다는 사실을 설명합니다.

일반적인 변수를 나타내는데 엑스(X)를 쓰는 것처럼 파이(Π)는 무차원 변수를 나타내는 그리스 문자입니다. k개의 변수들 사이의 관계가 X= f(X2, X3, … , Xk와 같이 주어질 때각 변수의 거듭제곱(X1X2aX3bX4c.…)으로 이루어진 무차원변수를 k-r개 구할 수 있고이들 사이의 관계를 Π1 = F(Π2, Π3, … , Πk-r)와 같이 표현할 수 있습니다차원해석을 수행함으로써 변수를 줄여 문제를 단순화하고 변수들 사이의 관계를 쉽게 분석할 수 있다는 뜻입니다.

 

코코넛 낙하속도

차원해석

예를 들어 나무에 매달린 코코넛 열매가 땅으로 떨어질 때의 낙하속도를 구해보고자 합니다우선 낙하속도 v를 결정하는 변수로코코넛 질량 m, 매달린 높이 h, 그리고 중력가속도 g를 들 수 있습니다즉 v=f(m,h,g) 입니다각 변수를 기본차원으로 표현하면 [v]=[L/T], [m]=[M], [h]=[L], [g]=[L/T2]입니다여기서 대괄호는 변수의 값이 아닌 차원을 나타냅니다변수의 개수가 총 4개이고사용된 기본차원이 M, L, T, 3개이므로 버킹엄의 파이정리에 따라서 4-3=1개의 무차원 변수가 나옵니다이어서 각 변수에 대한 거듭제곱의 곱v1mahbgc 이 무차원이 되도록 하는 a, b, c를 구하면 0, -1/2, -1/2가 됩니다따라서 무차원변수는 다음과 같이 됩니다.

이것은 이 문제에서 나올 수 있는 유일한 무차원변수이므로Π=F(.) 라 쓸 수 있습니다.

이 식으로부터 낙하속도 v를 구하면 나무 높이 h의 제곱근에 비례한다는 사실과 질량 m에 무관하다는 물리적 사실을 알 수 있습니다비록 상수 값 C를 구하지는 못하지만물리법칙을 전혀 적용하지 않은 상태에서 단순히 차원만을 분석함으로써 여러 가지 중요한 물리 현상을 끄집어낼 수 있습니다.

 

칠면조 조리

차원해석

만약 여러분들이 슈퍼에서 3.5킬로그램짜리 칠면조를 사왔다고 가정해봅니다칠면조의 무게는 3.5kg이지만 겉표지에 적힌 조리방법은 7kg을 기준으로 했을 때 6시간 동안 오븐에 두라고 설명되어 있었습니다그렇다면 여러분들은 크기가 절반인 칠면조를 익히기 위해 6시간의 절반 시간인 3시간을 두어야 할지아니면 똑같이 6시간을 두어야 할지가 고민하게 될 것입니다.

우선 조리시간 t는 칠면조의 질량 m, 그리고 살코기의 밀도 ρ와 열확산계수 α에 의해서 결정된다는 것을 가정합니다익는다는 것은 열이 표면으로부터 내부로 확산되어 칠면조 중심까지 일정 온도에 도달하는 과정이라고 생각한 것입니다여기서 각 변수의 거듭제곱이 무차원이 되도록 하면 Π = t1m-2/3ρ2/3α1 가 구해집니다이 문제에서도 무차원변수가 한 개이므로 상수가 되어야 합니다.

칠면조가 크건 작건 밀도 ρ나 열확산계수 α등 살코기 물성치는 일정하다고 가정할 수 있으므로조리시간 t는 칠면조 질량 m 2/3제곱(또는 길이 L의 제곱)에 비례한다는 것을 알 수 있습니다따라서 질량이 절반이면 6시간의 0.52/3(=0.63)배이어야 하므로 3시간 47분이라는 결과가 나옵니다.

 

차원해석▲ 칠면조 조리시간에 대한 차원해석 (출처공대생도 잘 모르는 공학이야기)

 

피타고라스 정리

차원해석▲ 차원해석을 통한 피타고라스 정리의 증명

 

차원해석을 활용하면 피타고라스 정리도 쉽게 증명할 수 있습니다직각삼각형의 면적 Ac를 구하는 공식을 몰라도빗변의 길이 c와 한쪽의 각도(라디안) θ를 알면 면적을 구할 수 있습니다Ac = f(c, θ) 라고 쓸 수 있고차원해석을 하면 아래와 같이 두 개의 무차원변수가 나옵니다. 즉 Π1 = F(Π2)입니다. 두 무차원 변수 중 하나가 결정되면 다른 하나가 결정된다는 것을 말합니다 

삼각형의 직각 꼭지점에서 빗변으로 수직선을 내리면 하나는 a를 빗변으로 하고다른 하나는 b를 빗변으로 하는 닮은꼴 직각삼각형이 됩니다두 개의 작은 삼각형에 대해서도 무차원변수 사이의 관계를 똑같이 쓸 수 있습니다그런데 두 삼각형 면적의 합은 큰 삼각형의 면적과 같으므로 a2F(θ) + b2F(θ) = c2F(θ) 이 됩니다이렇게 차원 해석을 했을 뿐이지만피타고라스 정리가 증명된 것을 확인할 수 있습니다.

 

충격파 확산 모델

차원해석▲ 대칭적인 구형 화염전파 수학 모델

영국의 물리학자 테일러는 시간 경과에 따른 충격파 확산 반경을 산정하는 모델을 연구했습니다그는 충격파 반경 R은 폭발에너지 E, 공기 밀도 ρ, 그리고 시간 t 등에 의해서 결정된다고 생각했습니다엄밀하게는 초기폭발 크기와 대기압 등 다른 변수들이 있었지만 과감하게 무시했습니다왜냐하면시간이 조금만 지나도 충격파가 퍼져나간 반경은 초기 반경에 비해 훨씬 크다고 생각했기 때문입니다그는 변수를 R=f(E,ρ,t) 로 단순화했습니다이 변수 4개를 조합하면 Π=R1E-1/5ρ1/5t-2/5와 같은 무차원 변수가 한 개가 도출됩니다.

차원해석

따라서 충격파 반경은 폭발에너지와 공기밀도가 일정한 경우시간에 따라서 2/5제곱에 비례해서 증가한다는 결론을 내리게 됩니다그는 실제 실험을 통해서 화염전파 반경을 측정하였고 결과를 검증했습니다또한이를 통해 간단한 차원해석을 통해서 공기 중에서 전파되는 강력한 충격파의 확산 반경을 설명하는 근사한 수학적 모델을 만들 수 있었습니다.

차원해석은 물리 현상이나 공학 문제를 결정하는 변수로부터 무차원 변수를 유도하고 변수들 사이의 관계를 분석할 수 있도록 해주기 때문에새로운 문제에 도전하는 경우 유용하게 쓰입니다문제접근 초기에 간단한 차원해석을 통해 전반적인 개념을 파악하고 운이 좋으면 문제를 설명하는 새로운 수학적 모델을 만들 수 있습니다차원해석을 이해하면서 사고의 차원도 함께 넓혀 나가기 바랍니다.

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  1. 조종선 says:

    감사합니다…언젠가 기회가 되면 꼭 강연을 듣고 싶읍니다