스토리 2021.01.15

생활 속 수학 원리! 카메라 조리개 값에 숨은 ‘무리수’ 이야기

수 체계에서 대세라고 할 수 있을 정도로 많은 무리수는 특별한 성질을 갖고 있다. 일단 소수점 이하로 내려가면 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는데, 이것은 무한 소수라고 부른다. 또한 무리수만으로 이루어진 집합은 사칙연산에 대해 전부 닫혀있지 않다. ‘닫혀있다’라는 표현이 생소한데, 간단히 정의하면 어떤 집합에서 임의의 숫자 두 개를 중복 가능하게 뽑은 뒤, 이들을 가지고 어떠한 연산을 거쳐도 여전히 처음 뽑았던 집합에 있는 숫자가 나온다면 닫혀있는 것이다. 예를 들어, 어떤 자연수를 두 개 뽑아서 더해봐도 여전히 자연수만 나오기 때문에, 자연수는 덧셈에 대해 닫혀있다고 할 수 있다. 다시 말하면, 무리수의 집합은 사칙연산 전부에 대해 닫혀있지 않으니, 임의의 두 무리수를 선택하여 더하거나 빼거나 곱하거나 나눈다면, 다시 무리수가 나오지 않는다는 말이다. 이런 독특한 무리수의 성질 때문에, 무리수와 관련된 명제들을 증명하는 과정이 꽤 복잡해진다. 세상에 존재하는 가장 중요한 상수를 선정해야 한다면, 반드시 포함되는 두 개는 자연상수 ‘е’와 원주율 ‘π’다. 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따서 오일러의 수라고도 불리는 е는 대략 2.72이며, 원둘레와 지름의 비로 잘 알려져 있는 π의 값은 3.14 정도 된다. 소수점 이하는 숫자가 불규칙하게 반복되기 때문에 정확한 값은 알 수 없지만, 둘 다 대표적인 무리수이다. 그런데 왜 е와 π는 정말 무리수일까? 중학교 이후로 무수히 많은 곳에서 사용하는 상수들이지만, 수학을 전공하지 않는 이상 대학에 가도 해볼 기회는 없다. 당연한 일처럼 보이는 무리수의 증명은 과연 얼마나 중요할까? 그리고 도대체 왜 무리수라는 것 자체에…
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스토리 2021.01.13

미술과 과학의 조합으로 만들어내는 아름다운 곡선! ‘이중진자와 라그랑지안 역학’ 알아보기

최근 어느 방송 예능 프로그램에서 유명 연예인이 진자를 이용한 그림 그리기, 즉 ‘펜듈럼 페인팅(pendulum painting)’을 선보여 화제가 되기도 했다. 진자란 고정점에 줄로 매달린 추로서 자유롭게 줄을 타고 왔다 갔다 할 수 있는 물체이다. 추에서 페인트가 흘러나와 추가 움직이는 대로 바닥에 페인트가 궤적을 남기면 진자가 그린 그림이 된다. 이때 진자가 규칙적인 운동을 하기 때문에 그 결과로 나온 그림도 규칙적이고 기하학적인 패턴을 나타낸다. 뉴턴역학과 진자운동 진자의 규칙성을 처음 발견한 사람은 그 유명한 이탈리아의 갈릴레오 갈릴레이다. 갈릴레오는 피사대학 의학부에 다니던 시절 피사 대성당에 매달려 있던 샹들리에가 이리저리 흔들리는 모습을 보고 놀라운 규칙성을 발견했다. 갈릴레오는 의대생답게 자신의 맥박을 이용해 샹들리에가 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝까지 갔다가 다시 원위치로 돌아오는 데에 걸리는 시간(이를 주기라 한다)이 그 진폭과 무관하게 일정함을 알아냈다. 이후 갈릴레오는 진자의 주기가 추의 질량과도 무관함을 알아냈는데, 이처럼 진자의 주기가 진폭이나 질량과 무관한 성질을 등시성(isochronism)이라 한다. 진자의 주기에 영향을 주는 유일한 요소는 진자의 길이이다. 길이만 정해지면 진자의 주기가 결정된다. 그렇다면 진자는 아주 훌륭한 시계로 사용할 수 있다. 진자의 주기가 진폭이나 추의 질량과 무관하다는 사실은 언뜻 직관적으로 받아들이기 쉽지 않다. 진자의 한 예로 그네를 들 수 있다. 그네를 뛸 때 거의 제자리에서 타는 것과 한껏 뒤로 가서 타는 것은 다를 것 같지만, 사실 주기는 똑같다. 또한 체중이 무거운 사람이 탈 때와…
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스토리 2020.12.24

[호기심 과학] ‘거꾸로 고드름’ 생성의 과학 원리를 실험으로 알아보기!

겨울이 되면 우리 주변에서는 흔히 물이 얼어 생긴 고드름을 볼 수 있다. 우리는 지구에 살고 있으니 당연하게도 중력에 의해 아래로 떨어지는 물방울이 얼면서 아래쪽이 더 가느다란 특유의 막대기 모양으로 생성되는 것이 바로 고드름이다. 아래로 떨어지는 물방울이 얼었다 녹았다를 반복하며 고드름이 만들어 지는 것이다. 그런데 오히려 바닥에서부터 자라나는 고드름도 있다는 사실. 그렇다면 일반적인 고드름과 달리 중력을 거스르는 것처럼 위로 솟은 고드름, 이른바 ‘거꾸로 고드름’은 왜 생기는 걸까? 한 겨울 마이산 탑사에 물 한 그릇 떠 놓으면 ‘거꾸로 고드름’이 생긴다? ▲ 마이산 탑사에 있는 돌탑의 모습 추운 한겨울, 돌탑으로 유명한 마이산 탑사에 물을 담은 그릇을 두면 밤사이에 바늘 모양으로 아주 뾰족하게 위로 솟은 고드름이 생기는 것을 볼 수 있다고 한다. 마이산 탑사는 주변의 낮은 산들로 둘러 싸여져 있어 이 산들이 마치 병풍같은 역할을 하기에, 온도가 낮아지면서 대기가 차가워지기 시작하면 그 냉기를 딱 보존하게 되는데, 이러한 조건에서 약한 바람이 불게 되면 멋진 거꾸로 고드름이 생성될 수 있다. 또 이런 거꾸로 고드름을 연천의 폐동굴에서도 볼 수 있다. 동굴 속에는 천장에서 이른바 낙숫물이 떨어지는데, 처음에 바닥에서 그 물이 얼기 시작하면 그 위에 또 물이 떨어져 얼고, 이러한 현상이 반복되면서 마치 탑을 쌓아가듯이 거꾸로 고드름이 생긴 것을 관찰할 수 있게 된다. 그럼 중력을 거슬러 위로 솟는 거꾸로 고드름은 어떻게 만들어지는 것일까? 지금부터 실험을…
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일상 속 디스플레이 2020.12.18

일상 속 디스플레이의 발견 24편: 상상 그 이상의 디스플레이로 새로운 세상을 만나다!

우리는 일상에서 매 순간 디스플레이를 통해 다양한 일들을 경험합니다. 디스플레이의 기술을 통해 보다 편리해진 삶의 변화를 느끼는 요즘! 아침에 눈을 뜨고 잠들기 전까지 우리와 함께하는 ‘디스플레이 시대(Display of Things)’의 하루를 일러스트로 만나보세요.
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일상 속 디스플레이 2020.12.17

일상 속 디스플레이의 발견 23편: 자유자재로 늘어났다 줄어드는 신기한 스트레쳐블 디스플레이!

우리는 일상에서 매 순간 디스플레이를 통해 다양한 일들을 경험합니다. 디스플레이의 기술을 통해 보다 편리해진 삶의 변화를 느끼는 요즘! 아침에 눈을 뜨고 잠들기 전까지 우리와 함께하는 ‘디스플레이 시대(Display of Things)’의 하루를 일러스트로 만나보세요.
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스토리 2020.12.07

사랑도 수학으로 풀 수 있을까? 작은 변화에 의한 급격한 상태 전환을 설명하는 ‘파국이론’

2019년 11월 말부터 시작된 코로나 바이러스 사태는 지구에 사는 모든 사람의 생활을 바꿔놓았다. 대면보다는 비대면 생활을 강요당하게 되며 재래시장과 식당과 같은 소상공인들은 큰 어려움에 직면했지만, 인터넷을 이용한 배달 사업은 평소보다 몇 배로 초고속 성장했다. 직장인들은 일찍 출근해서 같은 사무실에서 오밀조밀 근무하던 형태가 10년 뒤에나 올까 말까 했던 재택근무로 바뀌었고, 학생도 교실에서 받던 수업이 가정에서 이루어지는 미래형 교육환경으로 급속하게 변했다. 이처럼 코로나는 갑자기 나타나 우리의 일상을 속속들이 바꿔놓았다. 전문가들에 따르면 이렇게 바뀐 여러 상황은 코로나가 진정되더라도 예전의 형태로 돌아가지는 않을 것이라고 한다. 즉, 각 분야의 근무환경과 생활 그리고 산업은 빠르게 재편될 것으로 내다봤다. 작은 변화에 의한 급격한 상태 전환을 설명하다 우리는 코로나 사태와 같은 급격한 변화를 종종 목격하게 된다. 예를 들어 2004년 인도네시아는 쓰나미로 약 15만 명의 인명 희생과 막대한 재산 피해를 입었다. 이런 큰 자연재해는 역사적으로 인간과 자연에 큰 영향을 끼쳤고 역사의 흐름을 바꾸어 놓았다. 미국의 고고학 저널리스트인 데이비드 키즈는 세계 각국의 사료를 조사해서 쓴 <대(大)재해(Catastrophe, 2000년)>에서 서기 535에서 536년에 걸쳐 전 세계적으로 대기가 혼탁해지면서 태양을 가려 큰 기근과 홍수가 나고 전염병이 창궐해 구시대가 몰락하고 새 문명의 싹이 트기 시작했다고 주장했다. 1815년에는 인도네시아 숨바와 섬의 탐보라 화산 폭발로 수십만 명이 숨졌다. 대기를 뒤덮은 150만km³의 화산재와 먼지는 지구의 기온을 낮췄고, 이로 인해 이듬해인 1816년은 유럽인들에게 ‘여름이 없었던 해’로 기억됐으며, 전 세계적으로도 흉작이 이어졌다. 1845년 여름 아일랜드에서는 3주…
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스토리 2020.12.04

아름다운 음악은 수학의 조합이다? ‘피타고라스 음계’와 ‘메르센의 법칙’ 알아보기!

새로운 생명을 품고 있는 어머니나 기대감에 부푼 아버지가 초기에 가장 많이 하는 일은 어떻게 하면 이 아이가 건강하게 태어날 수 있을지를 고민하는 것이다. 태아는 엄마의 몸 안에서 5개월만 지나도 외부의 소리를 들을 수 있기 때문에, 태교에 좋은 음악이 하나의 장르처럼 전해지고 있다. 그런데 과연 음악이 정말 아이에게 얼마나 도움이 될까? 만약 실제로 도움이 된다면, 정확하게 어떤 부분에서 유의미한 도움을 줄 수 있을까? 음악이 태아에게, 특히 사고력을 발달시키는 데 도움이 된다는 견해는 아마 음악적 재능을 갖춘 수많은 천재들로부터 나왔을 것이다. 양자역학이 세상에 나오는데 결정적인 기여를 했던 독일의 물리학자 막스 플랑크는 평소에 오케스트라를 지휘하거나 작곡을 하며 연구 외 시간을 보냈다. 세기의 천재 아인슈타인은 5살 무렵부터 바이올린을 배웠고, 아무리 바쁜 시기라 해도 음악은 언제나 곁에 있었다. 그는 스스로 음악과 함께 생각하고, 공상하며, 음악적 형식으로 삶을 본다고 말했다. 복잡한 문제를 만날 때마다 바이올린을 즉흥적으로 연주했으며, 음악을 통해 얻은 영감으로 지식의 지평을 넓혔다고 한다. 가상의 인물이긴 하지만, 영국의 작가 코난 도일이 쓴 추리소설의 주인공 셜록 홈즈 역시 스트라디바리우스를 연주할 만큼 상당한 바이올린 실력을 갖고 있다. 아마 그가 얼마나 완벽한 사고력의 소유자인지를 보여주기 위한 장치가 아니었을까 생각한다. 미국의 수학자이자 하버드대학교에 역대 최연소 정교수로 임용되었던 노암 엘키스는 성악가이자 피아노 연주자였고, 바흐와 감히 비교할 수 있을 정도로 뛰어난 음악성을 갖추었다는 평을 받기도 한다. 이쯤 되면, 수학이나 과학을 잘하는 사람일 경우, 음악에…
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스토리 2020.11.25

[호기심 과학] 우리가 보는 대부분의 디스플레이 화면은 ‘편광된 빛’이다? 디스플레이 ‘편광판’에 숨겨진 과학 원리!

지금 필자가 보고 있는 슈퍼 와이드 모니터, 필자의 애장품인 노트북은 모두 선명한 화질을 자랑한다. 특히 현미경으로 관찰한 사진 등을 더 확대해 보고, 동영상 편집 등의 정밀한 작업이 필요할 때 큰 도움이 된다. 필자가 가지고 있는 두 제품뿐 아니라 대부분의 디스플레이에는 사실 공통점이 있는데, 바로 편광판이 장착되어 있다는 것이다. 이 칼럼을 읽는 독자 여러분들 중 누구는 편광판의 개념이 조금 생소할 수도 있다. 그럼 오늘은 우리가 보는 대부분의 디스플레이에 장착된 편광판에 숨겨진 과학 원리를 쉽고 자세히 알아보도록 하자. ▲ 필자가 가지고 있는 오딧세이 노트북(왼쪽)과 QLED 슈퍼 와이드 게이밍 모니터(오른쪽)로 두 제품 모두 디스플레이에 편광판이 장착되어 있다. 빛은 입자일까? 파동일까? 편광판을 이해하기 위해서는 먼저 빛의 특성에 대해서 알 필요가 있다. 과학자들은 17세기 무렵부터 빛이 ‘파동’이냐 ‘입자’냐를 놓고 논쟁해왔는데, 뉴턴은 빛이 입자의 흐름이라고 결론을 내렸고, 하위헌스는 파동이라고 주장했다. 그런데 당시에 워낙 뉴턴이 유명했기에 빛의 입자설이 더 유력한 학설로 받아들여졌다. 이후에 토마스 영이 ‘이중 슬릿 실험’을 통해 빛이 파동이라는 강력한 증거인 간섭현상을 증명한 이후로 빛의 파동설이 우세해졌다. 하지만 20세기 초 아인슈타인이 광전효과를 규명하면서 빛의 입자설이 다시 살아나게 되었고, 콤프턴의 ‘X선 산란 실험’으로 빛의 입자임을 분명히 확인했다. 아인슈타인은 그 유명한 상대성 이론이 아니라 바로 이 광전효과의 메커니즘을 규명한 공로로 1921년 노벨상을 수상했다. 사실 대부분의 사람들은 세상은 검은색 아니면 흰색이라는 흑백 사고에 익숙한 경우가 많아서 빛도 파동 아니면 입자, 둘 중 하나이지 ‘빛은 파동이면서 입자’라는…
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일상 속 디스플레이의 발견 22편: 돌돌 말았다가 펼쳐서 쓰는 디스플레이!
일상 속 디스플레이 2020.11.23

일상 속 디스플레이의 발견 22편: 돌돌 말았다가 펼쳐서 쓰는 디스플레이!

우리는 일상에서 매 순간 디스플레이를 통해 다양한 일들을 경험합니다. 디스플레이의 기술을 통해 보다 편리해진 삶의 변화를 느끼는 요즘! 아침에 눈을 뜨고 잠들기 전까지 우리와 함께하는 ‘디스플레이 시대(Display of Things)’의 하루를 일러스트로 만나보세요.
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일상 속 디스플레이 2020.11.20

일상 속 디스플레이의 발견 21편: 멀티 폴더블 디스플레이로 새로운 세계를 펼쳐보다.

우리는 일상에서 매 순간 디스플레이를 통해 다양한 일들을 경험합니다. 디스플레이의 기술을 통해 보다 편리해진 삶의 변화를 느끼는 요즘! 아침에 눈을 뜨고 잠들기 전까지 우리와 함께하는 ‘디스플레이 시대(Display of Things)’의 하루를 일러스트로 만나보세요.
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