스토리 2019.11.08

쉽게 알아보는 공학이야기 15 – 최적화

과학에는 하나의 정답이 존재하지만, 공학에는 다수의 해결 방안이 가능합니다. 여러 가지 해결 방안 중 가장 적합한 것을 찾아가는 과정을 최적화(optimization)라 합니다. 최적화 이론은 최대나 최소가 되는 조건을 찾기 위해 시작되었으며, 전통적인 공학을 비롯한 경영, 행정 등 여러 산업 분야에서 널리 활용되고 있습니다. 최근에는 인공지능 분야에서 많은 양의 데이터를 빠른 속도로 처리하기 위한 최적화 알고리즘이 핵심적인 기술로 떠오르고 있습니다.   실생활에서도 자연스럽게 사용하는 최적화 물건을 구입할 때 우리는 가성비를 따집니다. 또 공학 문제에서는 너무 크지도 않으면서 그렇다고 너무 작지도 않은 가장 적당한 조건을 찾습니다. 예를 들어, 단열재를 두껍게 하면 열 손실은 줄지만, 설치비용이 늘어납니다. 따라서 총비용을 최소화하기 위한 적당한 단열재 두께를 찾아야 합니다. 최적화 문제에서 대상이 되는 함수를 목적함수(objective function)라 하고, 이때 주어지는 특정 조건이나 변수의 범위를 제한조건(constraint)이라고 합니다. 목적함수가 성능이나 이윤인 경우는 최댓값 문제가 되고, 목적함수가 소요 시간이나 비용인 경우는 최솟값 문제가 됩니다. 최소화나 최대화는 수학적으로 동일한 최적화 과정입니다.   효율적인 배분을 위한, 선형계획법 목적함수나 제한조건이 모두 단순한 선형 관계로 주어지는 경우는 선형계획법(linear programming)이 활용됩니다. 선형계획법은 한정된 자원을 효율적으로 배분하는 방법을 찾기 위해 개발되었습니다. 예를 들어, 주어진 재료를 가지고 초코빵과 밀빵을 만들 때 이익을 극대화하려면 각각 몇 개씩 만들어야 하는가를 고민해야합니다. 밀빵은 이윤은 적지만 밀가루만 있으면 되고, 초코빵은 초콜릿이 필요하지만, 이윤이 높습니다. 가지고 있는 밀가루와 초콜릿 양은 제한조건으로 주어져 있으며, 이윤은 판매 개수에 비례해서…
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스토리 2019.11.05

알아두면 쓸모있는 양자역학 이야기 – 코펜하겐 해석과 EPR 역설

원자와 전자를 표현하는 대표적인 개념도는 닐스 보어가 주장했던 원자모델이다. 원자핵 주변을 전자가 공전하는 모양이다. 시간이 지나 보어의 제자인 러더퍼드에 의해 궤도는 타원형으로 수정됐고, 더 나아가 하이젠베르크는 불확정성 원리를 바탕으로 전자의 위치는 궤도가 아니라 확률론에 기반한 전자 구름 형태라고 표현한다.   보어와 하이젠베르크의 코펜하겐 해석 보어, 하이젠베르크, 보른은 관측자의 행위가 양자의 존재 상태에 영향을 미친다는 코펜하겐 해석(Copenhagen interpretation)을 발표한다. 코펜하겐 해석은 우주를 거시 세계와 미시세계로 나누어 생각하는데, 우리의 일상생활이 포함되는 거시 세계는 뉴턴으로 대표되는 고전 역학이 지배하는 세계이고, 미시 세계는 양자 역학이 지배하는 세계다. 코펜하겐 해석의 세계관에서 미시 세계의 규칙은 거시 세계와는 확연히 다르다. 거시 세계에서 물질의 상태는 우리 눈으로 보지 않아도 이미 결정되어 있는 상태고, 우리가 눈으로 본다고 해서 그때 갑자기 결정되는 것이 아니다. 하지만 미시 세계에서는 그렇지 않다. 예를 들면, 빛이 입자냐 파동이냐에 대한 결정은 빛이라는 그 대상을 관측했을 때 정해진다는 주장으로, 관측 전에는 상태를 알 수 없다는 뜻이다. 코펜하겐 해석에서는 이와 같이 여러 가능성을 동시에 갖는 상태를 중첩 상태라 부른다. ▲ 관측행위를 통한 파동함수의 붕괴 코펜하겐 해석에 따르면, 전자는 파동함수로 상태를 서술할 수 있는데, 측정되기 전에는 여러 가지 상태가 확률적으로 겹쳐있는 것으로 표현되고, 관측을 진행하면 그와 동시에 파동함수가…
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알아두면 쓸모 있는 양자역학 이야기-디랙의 양자역학 정리
스토리 2019.10.07

알아두면 쓸모있는 양자역학 이야기-디랙의 양자역학 정리

전자는 음전하를 가지고 있으며, 원자핵 주변을 돌면서 중성 상태의 원자 분위기를 유지하도록 만든다. 전자가 음의 전하를 지니고 있는 것은 모두가 알고 있지만, 양전하를 지닌 전자도 있다는 사실은 잘 모를 것이다. * 전하: 물체가 띠고 있는 정전기의 양   양의 전하를 지닌 전자, 양전자 양전자는 포지트론(positron)이라고 부르며, 방사성 감소 중의 한 가지인 베타 붕괴(beta decay) 과정에서 방출되는 베타 입자(전자, 양전자)에 해당한다. 베타 붕괴 시 양전자 방출이 일어나며, 양성자는 중성자로 변환된다. ▲ 베타 붕괴를 통한 양전자 방출 (출처: 위키미디어) 아무 물질이나 양전자를 방출하는 것은 아니며, 특정한 방사성 동위원소에 강한 에너지를 공급하면, 양성자가 중성자로 바뀌면서 양전자를 방출하게 된다. 그런데 왜 갑자기 양전자를 얘기하나 싶을 것이다. 이 양전자의 존재를 예견하게 되는 과정에서 하이젠베르크의 행렬역학과 슈뢰딩거의 파동역학이 같은 의미와 가치 즉, 등가를 이룬다는 사실이 발견되었기 때문이다.   두 물리학자의 화해의 장을 마련한 디랙 ▲ 폴 디랙의 모습 (출처: 위키미디어) 폴 디랙(Paul Dirac)은 영국의 물리학자이며, 남의 이목을 끄는 것을 싫어했던 은둔형 고수에 해당한다. 낯을 가리는 그의 성격으로 인한 일화가 아직까지 알려져 있다. 슈뢰딩거와 함께 공동으로 노벨물리학상 수상자로 선정되었을 때도 노벨상 수상을 거부했으나, 거부 사실이 더 이슈가 될까 두려워 마지못해 노벨상을 수상했다는 것이다. 그만큼 디랙은 과묵하고 조용한 인물로 알려져 있다. 그동안 하이젠베르크와 슈뢰딩거는 행렬역학과 파동역학을 앞장세워 빛과 전자에 관한 양자적 해석의 우위를 가리지 못하고 있었다. 슈뢰딩거는 하이젠베르크의 역학에서는 어떠한 시각적 논리가 보이지 않는다고 무시했었고, 하이젠베르크는…
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스토리 2019.10.01

쉽게 알아보는 공학이야기 14 – 퍼텐셜과 플럭스

자연의 움직임은 어떠한 차이로 인해 불균형이 생길 때 발생합니다. 기압 차이로 인해 바람이 불고, 온도 차이로 인해 열이 전달되며, 전압 차이로 전류가 흐릅니다. 여기서 바람의 흐름(기류), 열의 흐름(열류), 전기의 흐름(전류) 등을 총칭하여 플럭스(flux)라 합니다. 쉽게 말하면 무엇이든 흘러가는 것을 말합니다. 또 이런 흐름을 만들어내는 전압, 압력, 온도와 같은 구동력을 퍼텐셜(potential)이라 합니다. 퍼텐셜과 플럭스는 이런 자연 흐름뿐 아니라 사회 문화 현상에도 적용이 가능합니다. 백범 김구 선생이 꿈꾸었던 ‘진보된 문화’라는 것도 일종의 퍼텐셜이고, 문화 차이에 의해 발생하는 한류와 같은 흐름을 플럭스가 발생했다고 할 수 있습니다. 오늘은 이런 퍼텐셜과 플럭스에 대해 알아보겠습니다.   퍼텐셜(potential)은 뭘까? 초등학교 때 플라스틱 책받침 위에 쇳가루를 올려놓고 아래에 자석을 갖다 대는 실험을 한 적이 있을 것입니다. 자석 주위로 자기장이 형성되고 N극에서 나와 S극으로 향하는 자력선이 만들어집니다. 자기장과 같이 공간내 위치에 따라 함수값이 변화하는 공간을 장(場)이라 합니다. 우리가 잘 알고 있는 장으로는 자기장을 비롯해서 중력장, 전기장, 압력장, 온도장 등 많이 있습니다. 장을 이루고 있는 중력, 압력, 온도, 전압 등과 같은 퍼텐셜(F)은 흐름을 만드는 구동 에너지로서 공간상에서 위치에 따라 다른 값을 가집니다. 즉 퍼텐셜은 물리학에서는 장을 기술하는 중요한 개념이며, 수학적으로는 공간좌표에 대한 함수로서 F=F(x,y)와 같이 나타낼 수 있습니다. 중력장의 경우…
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스토리 2019.09.11

알아두면 쓸모 있는 양자역학 이야기 – 슈뢰딩거의 고양이와 양자중첩

‘양자역학 이야기’ 시리즈를 연재하며 우리가 분명하게 알게 된 사실이 있다. 빛과 물질은 ‘입자면서 동시에 파동’이라는 것. 이것은 마치 사람이 ‘남자면서 여자이다’라는 이해하기 힘든 표현과 비슷하다. 이 개념은 우리의 직관으로는 쉽게 납득할 수 없지만 이중 슬릿 통과 실험을 통해 입증된, 많은 학자들이 인정하는 양자 역학의 기본적 사실이다. 이러한 양자의 이중성을 조금 더 정확하게 표현하자면 ‘양자중첩(quantum superposition)’이라고 하며, 여러 가능성을 동시에 갖는 상태를 말한다. 우리가 물체를 관찰할 때 이미지는 망막에 전달되어 연속적인 것으로 보이게 되며, 초당 24프레임으로 구성된 애니메이션도 연속적인 영상으로 느끼게 한다. 1/24초로 나눠서 본다면 분명 불연속적인 정지 그림임에도 우리에겐 연속적으로 보인다. 멈춰진 상태1과 상태2가 중첩되어 우리에겐 연속된 상태로 보이는 것이다. 이것이 중첩이며, 거시세계가 아닌 미시 양자세계로 가면 양자중첩이라는 현상이 발생한다. 원자의 모습은 흔히 태양계와 같이 전자가 원자핵의 궤도를 도는 형태로 표현되지만, 앞서 다룬 전자의 확률분포 모델이 양자중첩을 표현하기에는 조금 더 적합하다. 즉, 전자가 원자의 영역 안에서 정확히 어디에 있는지는 알 수 없으므로, 발견 될 위치의 확률을 따져서 이를 그래픽으로 표현한 전자 구름 형태가 양자세계의 중첩을 표현하기에 알맞다. 특이한 것은 입자와 파동의 상호 별개의 상태의 것이 겹치고 겹쳐서 새로운 상태를 만들고 있다는 점이다. 즉, 0 아니면 1인 별개의 상태가 중첩되어 0~1사이의 어중간한…
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스토리 2019.09.02

쉽게 알아보는 공학이야기 13 – Fool-Proof 설계

제품을 설계할 때 잘못될 가능성을 사전에 방지하는 설계를 풀프루프(fool-proof) 또는 이디엇 프루프(idiot-proof) 설계라 합니다. proof는 단어 뒤에 붙어서 방지한다는 의미를 가지므로, 직역하면 바보 방지 설계라는 재밌는 표현이 됩니다. 풀프루프는 원래 제품 생산이나 사용 중 사람의 실수를 방지하기 위한 장치로 시작했습니다. 디지털 시대를 맞으면서 일반 소프트웨어뿐 아니라 인공지능 알고리즘으로 그 적용 대상이 넓어지고 있습니다.   머피의 법칙 ▲ 버터 바른 빵이 식탁에서 떨어지는 과정 흔히 세상일이 안 좋은 방향으로 일어나는 것을 머피의 법칙(Murphy’s law)이라 합니다. 식빵이 탁자에서 떨어질 때 하필이면 버터를 바른쪽이 카펫 바닥으로 떨어진다거나, 줄을 설 때 운이 없게도 내가 선 줄이 가장 늦게 줄어드는 현상 등을 말합니다. (출처: 공대생도 잘모르는 재미있는 공학이야기) 에드워드 머피는 미국 항공국 직원으로 조종사들을 대상으로 여러 가지 실험을 수행하였습니다. 실험하면서 그는 사소한 실수가 치명적인 결과를 가져올 수 있다는 사실을 종종 경험했습니다. 실험 장치에 전원을 연결할 때 양극과 음극을 제대로 연결하면 다행이지만, 무심코 거꾸로 연결하면 실험 장치가 완전히 타버리곤 하니까요. 작은 실수가 커다란 재앙을 만들 수 있기 때문에 머피는 항상 불안해 했습니다. “무슨 일을 하려고 하는데 두 가지 이상의 방법이 있고 그중 하나가 매우 재앙적인 결과를 가져온다면, 그 일은 반드시 일어나고 만다”며 푸념했지요.   작업장에서의 과실…
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알아두면 쓸모 있는 양자역학 이야기 - 파동함수
스토리 2019.08.06

알아두면 쓸모 있는 양자역학 이야기 – 파동함수

앞서 ‘양자역학 이야기 – 드브로이 물질파’에서 우리는 세상을 구성하는 요소들이 입자 뿐만 아니라 파동으로도 이루어져 있다는 것을 배웠다. 기존의 사유 방식으로는 쉽게 납득할 수 없는 개념이지만, 입자라고만 생각되었던 전자의 움직임이 파동의 특성을 보일 수 있음을 수학적으로 유도했고 이것을 물질파(matter wave)라고 부르게 된 것이다. 오늘은 양자역학에서 전자의 존재를 파동으로 설명한 또 다른 유명한 이론인 ‘파동함수’에 대해서 살펴보고자 한다. 양자역학에 조금이라도 관심이 있었다면, 한 번 정도는 들어봤을 법한 이름 ‘슈뢰딩거’가 바로 이 이론의 주인공이다.   슈뢰딩거의 고양이 ▲ 슈뢰딩거 (출처: 위키백과) 에르빈 슈뢰딩거(Erwin Schrödinger, 1887~1961))는 오스트리아의 물리학자로 드브로이의 물질파 개념에 영향을 받아 ‘파동방정식’과 ‘파동함수’를 제안했다. 하지만 보통은 그의 방정식보다 머릿속 상상 실험인 ‘슈뢰딩거의 고양이’가 더 친숙하다. 이 실험은 슈뢰딩거가 물리학자 보어와 하이젠베르크 중심의 ‘코펜하겐 해석’을 반박하기 위함이었다. 코펜하겐 해석은 이 세상을 거시세계와 미시세계로 나눈다. 거시세계와 달리 미시세계에서 전자는 입자이기도 하고 파동이기도 한 ‘중첩상태’에 있다고 주장한다. 상태의 결정은 관찰(측정) 여부에 따라서 정해진다는 일종의 사후 결정론적인 입장을 취한다. 하지만 슈뢰딩거는 그런 일은 있을 수 없다고 하며, 아래와 같은 실험을 상상해 보라고 했다. ▲ 슈뢰딩거의 고양이, 양자역학의 불완전함을 보이기 위해서 고안한 상상 실험 (출처: 위키백과) 이 실험에는 원자와 고양이 한 마리가 등장한다. 고양이는 보이지 않는…
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쉽게 알아보는 공학이야기 12 – 정보 엔트로피
스토리 2019.08.01

쉽게 알아보는 공학이야기 12 – 정보 엔트로피

안다는 것과 모른다는 것의 상태를 어떻게 정량화할 수 있을까요? 이는 정보 공학의 핵심 주제입니다. 우리는 정보화 시대에 살면서 다양한 방면에서 정보를 활용합니다. 그리고 정량화를 위해 통계열역학의 엔트로피 개념을 응용한 ‘정보 엔트로피’를 사용합니다. 정보 엔트로피는 정보를 저장하고 효과적으로 전송하는 정보통신 기술의 기초입니다. 또한 학습기구나 지식구조를 체계화하는 인공지능 기술의 이론적 토대가 되고 있습니다.   엔트로피 증가의 법칙 자주 사용되는 용어지만 ‘엔트로피’ 개념은 늘 아리송합니다. 엔트로피는 자연 물질이 변형되어, 원래의 상태로 돌아갈 수 없는 현상을 말합니다. 흔히 ‘무질서도’라고도 말하는 엔트로피는 원래 온도, 압력, 엔탈피 등과 같은 열역학적 성질의 하나로, 열전달량을 절대온도로 나눈 값으로 정의됩니다. 열역학 제2법칙은 고립된 시스템의 엔트로피를 항상 증가하는 방향으로 진행된다고 설명합니다. 즉, 뜨거운 곳에서 차가운 곳으로 열이 전달되는 것처럼 자연현상과 시간의 방향성을 가리킵니다. ▲ 두 물체의 에너지와 엔트로피 변화 (출처: 공대생도 잘모르는 공학이야기) 자연현상은 자발적으로 두 물체 사이의 온도 차이가 사라지는 방향으로 일어납니다. 온도차가 없어지면서 더 이상 열전달이 이루어지지 않고, 아울러 에너지(available energy)를 사용할 수 없게 됩니다. 온도뿐 아니라 물에 잉크 방울을 넣거나, 두 기체 사이의 격리막을 제거하면 완전히 서로 섞여서 구별할 수 없는 상태가 됩니다. 엔트로피의 증가법칙이란, 변화를 유발하는 온도차나 물질 구분이 없어지면서 더 이상 변화가 일어나지 않는 상태로…
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알아두면 쓸모있는 양자역학 이야기 – 불확정성의 원리
스토리 2019.07.08

알아두면 쓸모있는 양자역학 이야기 – 불확정성의 원리

1차 세계대전이 발발하기 몇 년 전인 1927년 제 5차 솔베이 회의에는 많은 물리학자가 참석했다. 참석한 물리학자 29명 중 무려 18명이 노벨상 수상자다. 양자역학의 큰 획을 그었던 솔베이 회의를 역사가들은 이렇게 얘기한다. “과학사에서 그렇게 짧은 시간에, 그렇게 소수의 사람들에 의해, 그렇게 많은 것이 밝혀진 적은 없었다”라고. 아인슈타인과 보어 사이에 오간 유명한 담론인 “신은 주사위 놀이를 하지 않는다(아인슈타인)”, “신이 주사위 놀이를 하든 말든 당신이 상관할 바 아니다(보어)”도 이 회의에서 나온 얘기다. ▲ 보어와 아인슈타인의 담론 장면 (출처: 위키백과) 두 사람 사이의 담론에서 아인슈타인의 말은 양자론의 불완전성을 비꼬는 말이다. 양자론은 자연현상을 일정한 수준에서는 바르게 표현하고 있지만, 완전하지 않기 때문에 확률이라는 생각으로 시작할 수밖에 없다. 즉 자연현상은 어떠한 물리량으로 결정되어 있다는 아인슈타인의 생각과 상반되는 양자론은 그의 입맛에 맞을 수 없었다.   하이젠베르크의 불확정성의 원리 ▲ 하이젠베르크 불확정성원리에 관한 기념우표 (출처: Amazon) 하이젠베르크는 1901년 독일 뷔르츠부르크에서 태어났다. 그의 나이 24세에 라이프치히 대학교에서 교수직을 제안했지만, 제안을 거절하고 양자역학 해석 문제를 연구하기 위해 덴마크 코펜하겐에 있는 보어를 찾아가 비정규직 연구원을 자청한다. 그리고 이를 통해 노벨 물리학상을 받게 된다. 하이젠베르크는 오직 측정 가능한 것만 이론으로 삼는다는 실증주의 신념을 과감히 깨뜨린다. 위치와 운동량을 동시에, 정확하게 측정하는 것은 절대 불가능하다는…
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쉽게 알아보는 공학이야기 11 – 푸리에 급수
스토리 2019.07.02

쉽게 알아보는 공학이야기 11 – 푸리에 급수

이미지와 영상 데이터가 쏟아지는 시대에 데이터 전송 용량을 줄이기 위해서 파일 압축은 필수입니다. 우리가 흔히 보는 이미지나 영상의 압축 형태인 JPEG, MPEG 파일들이 어떤 식으로 원본 파일의 용량을 줄이는지 아시나요? 신호에 포함된 여러 파동 성분을 알기 위해서 우리는 주파수 분석을 하며, 이는 기본적으로 푸리에 변환(Fourier transform)을 이용합니다. 푸리에 변환을 통한 주파수 분석 기술은 전파통신, 신호처리를 비롯해 영상처리, 데이터 압축 등의 다양한 분야에서 널리 활용되고 있습니다. 오늘은 푸리에 급수에 대해 알아보고, 그를 활용한 압축 방법에 대해 설명하겠습니다.   푸리에 급수 우리 주변에는 여러 가지 파동이 존재합니다. 바다에는 파도가 치고, 강물에는 물결이 일렁입니다. 시계추의 왕복운동, 용수철의 진동뿐만 아니라 소리와 빛도 모두 파동입니다. 파동의 특성을 결정짓는 기본 요소는 주파수와 진폭입니다. 소리굽쇠를 치면 일정한 음높이의 소리를 냅니다. 큰 굽쇠는 낮은 음을, 작은 굽쇠는 높은 음을 내며, 세게 치면 소리는 커지지만, 음높이는 변하지 않습니다. 크고 작은 여러 개의 소리굽쇠를 동시에 치면 음높이가 다른 소리와 합쳐지면서 복잡한 파형을 만들어냅니다. 여기서, 푸리에 급수(Fourier Series)는 아무리 복잡한 신호라 할지라도 기본적인 주기함수인 사인과 코사인 함수의 조합으로 전개하는 것을 말합니다. 주파수란, 원래 1초 동안의 파동 개수인데, 공간으로 생각하면 1미터당 들어있는 파동의 개수 즉, 파수(wave number)에 해당한다. 주기란, 동일한 상태가 반복되는…
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